固有値分解
計算
Aがn × n の正方行列のとき、n 次のベクトルv と、スカラーλ をつかって
Av = λv
となるv とλ をみつけたい。
つまり、Aをv で内積をとることで変換してやると、
そのv のスカラーλ倍におとしこむことができたとする。
もしそうなら
(A-λI) v = 0
これでv = 0 のとき以外のことを考えるなら、
det(A-λI) = 0
となる必用がある。これをみたすλ を探すことになる。
またv はλの数だけみつかる。
一意には決まらないのだが、各成分の二乗和を１にしてやることで
（ベクトルなので符号はひっくり返ることがあるものの）数字はきまる。
このλを固有値(eigenvalue)、v を固有ベクトル(eigenvector)という。
λを大きさの順で並べ替え、これを対角にする対角ベクトルをつくる。
また対応するv を同順で列にして行列 V をつくる。
すると
AV = VΛ そこで
A = VΛV-1 これをA の固有値分解という。
A が正規であるとき
もしA がn × n の正規行列であるとき、
つまりA*A = AA* であるときのこと。
n 個だけ見つかるであろうλについて、
（おそらく）A-λI はそれぞれ独立である（直行する）。
またそれぞれのv も独立になる。
n =2のときの証明はここに。
すると V*V = I である。それぞれのvが独立だから、
異なるvの内積は０になって、さらに二乗和が１になるから、
対角成分が１の対角行列（つまり単位行列）になるからだ。
V*VV-1 = IV-1
なので、このときV はユニタリ行列である。
Aが正規行列のときに限って
A = VΛV* がなりたつ。
解釈
これはいくつか（も）ある行列の分解のひとつである。
正直なところ、よくこんなこと思いつくなあと感心する。数学者って貴い。ありがたい。
さて正規行列だけど、適当な行列XをX*XなりXX*で
内積とってやれば、つくることができる。結果が対称行列になるからだ。
X*X = VΛV*
XX* = UΛU*
この変換から、これはいま作った正規行列を、（回転を表す）ユニタリ行列と、
（大きさを表す）対角行列に分解できることがわかる。
大きさが共通することに注目。行列としては次元が違うのだけど、
要は、X の行なり列なり、少ない方の数だけ、λは求まる。
あとは原理的にゼロである。